Successione

Una successione $\{s_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ a valori in un insieme $S$ è una funzione di $\mathbb{N}$ in $S$ per la quale si approfitta della notazione $s_n$ in luogo dell'usuale $s(n)$.
Se $S=\mathbb{R}$ la successione si dice successione reale o successione di reali.

Proprietà di successioni

Una successione $\{s_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ si dice:

• limitata se esiste $M > 0$ tale che $\forall n \in \mathbb{N} \; |x_n|<M$
• crescente se è una funzione crescente
• decrescente se è una funzione decrescente
• monotona se è crescente o decrescente.
• costante (risp. definitivamente costante) se è una funzione costante (risp. definitivamente costante)

In analisi, per le successioni reali (ma in realtà anche in Topologia, con definizioni più generali) sono particolarmente rilevanti anche:

• successione convergente ad l se $\forall \varepsilon>0 \; \exists N>0$ tale che $\forall n>N \; |x_n-l|<\varepsilon$ (vedi Limite di successione)
• successione divergente se $\forall M>0 \; \exists N>0$ tale che $\forall n>N \; |x_n|>M$ (vedi Limite di successione)
• successione di Cauchy se $\forall \varepsilon>0 \; \exists N>0$ tale che $\forall n,m>N \; |x_n-x_m|<\varepsilon$ (vedi Successione di Cauchy)