Intervallo

Definizione

Un sottoinsieme S dei numeri reali si dice intervallo se:

• $\forall x,y,z\in \mathbb {R} \qquad$ $(x,y\in S$ e $x\leq z\leq y\Rightarrow z\in S)$

Tipi di intervalli

Esistono in \mathbb{R} diverse specie di intervalli:

1. $(a,b)=\{a<x<b\}$ (intervallo aperto)
2. $[a,b]=\{a \le x \le b\}$(intervallo chiuso)
3. $[a,b)=\{a \le x < b\}$(intervallo chiuso a sinistra)
4. $(a,b]=\{a < x \le b\}$(intervallo chiuso a destra)
5. $(a,\infty)=\{x>a\}$(intervallo aperto infinito a destra, o semiretta aperta destra)
6. $[a,\infty)=\{x \ge a\}$(intervallo chiuso infinito a destra, o semiretta chiusa destra)
7. $(-\infty,a)=\{x < a\}$ (intervallo aperto infinito a sinistra, o semiretta aperta sinistra)
8. $(-\infty,a]=\{x \le a\}$(intervallo chiuso infinito a sinistra. o semiretta chiusa sinistra)
9. $\R$ stesso
10. $\{a\}$ (un "punto")
11. l'insieme vuoto

Proprietà

• Solitamente si chiama 'intervallo unitario l'intervallo chiuso [0, 1].
• L'unione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo.
• L'intersezione di due intervalli è un intervallo
• L' di un intervallo mediante una funzione continua di $\R$ in $\R$ è ancora un intervallo.
• Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
• Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo $[a, b]$.
• Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo ad uno ed uno solo dei seguenti cinque intervalli: ${0}$, $[0,1]$, $[0,1)$, $(0, 1)$ o $\emptyset$